PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFUSI DENGAN METODE BEDA HINGGA

PENDAHULUAN

Banyak persoalan dalam bidang rekayasa dan teknik kimia khususnya tentang perpindahan panas (heat transfer) bentuk model matematikanya banyak yang berbentuk persamaan diferensial parsiil. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsiil ada beberapa metode yang dapat digunakan. Salah satu metode tersesebut dan saat ini sedang menjadi bahan penelitian adalah metode elemen hingga (finite element methods).

Kelebihan metode elemen hingga adalah banyaknya variasi bentuk diskritisasi elemennya, yaitu bentuk segi empat, segi tiga dan segi yang lain. Sedangkan jika dengan metode beda hingga bentuk diskriisasi elemennya hanya berbentuk segi empat saja...
Sehingga jika bentuk domainnya tidak teratur, maka penyelesaian dengan metode elemen hingga dapat memperkecil tingkat galat (error). Karena dapat mendiskritisasi domainnya menjadi bentuk segi tiga atau gabungan segi tiga dan segi empat.

Konsep dasar yang melandasi metode elemen hingga adalah prinsip diskritisasi, yaitu membagi suatu benda atau domain menjadi benda-benda atau sub domain yang lebih kecil. Setiap sub domain atau elemen dilakukan perhitungan dan  hasil perhitungan tiap elemen tersebut dirakit menjadi penyelesaian global.

PDP dapat dklasifikkasikan ke dalam tiga tipe yakni parabolic, eliptik, dan hiperbolik.

a.       Persamaan diferensial eliptik

Seperti aliran tanah di bawah bendungan karena adanya pemompaan, difleksi plat akibat pebebanan. Model matematikanya adalah :

a.       Persamaan diferensial parabolik

Persamaan parabolik paling sederhana adalah peramabatan panas. Model matematokanya adalah:

b.      Persamaan diferensial hiperbolik

Berhubungan dengan getaran atau permasalahan dimana terjadi kontinuitas dalam waktu, seperti gelombang kejut yang terjadi kontinu dalam kecepatan, tekanan dan rapat massa model matematikanya adalah,

Tujuan penelitian ini adalah mengaplikasikan metode elemen hingga untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsiil untuk aliran kalor dalam keadaan tunak berdimensi dua. Adapun obyek penelitiannya adalah suatu simulasi domain bidang dimensi dua yang pada batas tertentu atau titik-titik tertentu diketahui suhunya. Dengan mendiskritisasi domain tersebut dengan bentuk elemen segitiga, maka dengan mengaplikasikan metode elemen hingga akan dapat diketahui suhu pada titik-titik lain diluar daerah yang diketahui. Dalam perhitungannya, metode elemen hingga membutuhkan perhitungan yang agak rumit dan ukuran matriks yang besar, maka dalam perhitungan ini digunakan komputer.

TEORI DASAR

Koefisien A_i mungkin berharga 1, -1 atau 0. Variabel u bersifat tidak bebas, sedangkan x_i adalah variabel bebas. Dalam persamaan (2-1) tidak terdapat variabel turunan campuran seperti ∂x_j (i≠ j). Beberapa kemungkinan pada persamaan (2-1) :

1.       Jika  A_i ≠ 0, bertanda sama, maka PDP bertipe eliptik,

2.       Jika A_i ≠ 0, bertanda sama (kecuali satu), maka PDP bertipe hiperbolik.

3.        Jika salah satu A_i = 0 (misalnya A_k), sedangkan sisanya ≠ 0 dan bertanda sama, dan jika koefisien ∂u/∂x_k ≠ 0, maka PDP bertipe parabolik.

1.   Pendekatan Turunan dengan Beda Hingga

 Variabel u selanjutnya didefinisikan sebagai u = u(x,y). Antara u(x,y) dan u(x+h,y+k) berdasar deret Taylor.

MODEL PERMASALAHAN

Permasalahan dalam makalah ini adalah bagaimana menentukan distibusi suhu pada sebuah plat yang berbentuk berbentuk persegi pada gambar dengan menggunakan pendekatan beda hingga terhadap persamaan laplace.

Dengan syarat batas :

T(x,0) = 0^oC                untuk 0

T(x,3) = 50^oC              untuk 0

T(0,y) = 100^oC            untuk 0

T(4,y) = 0^oC                untuk 0

DOWNLOAD FILE MAKALAH SELENGKAPNYA DENGAN HITUNGAN ANALITIK DAN NUMERIK HERE.

Sumber: Tugas Komputasi geofisika "pariadi dan m. hasan basri"

PROGRAM STUDI FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT

 2011